Números Aleatorios

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Un número aleatorio es un número recibido al azar, es decir, cada número tiene la misma probabilidad de ser seleccionado y la elección de uno no depende de la elección del otro. El ejemplo clásico más utilizado para generarlos es el diseño repetido de una moneda o de un dato ideal que no esté atrapado.

 

¿PARA QUÉ SON?

Con los números aleatorios, los modelos matemáticos pueden representar la realidad.

 

Cuando se requiere la imprevisibilidad de ciertos datos, se suelen utilizar números aleatorios.

 

Los humanos vivimos en un ambiente aleatorio, y nuestro comportamiento es aleatorio. Si queremos predecir el comportamiento de un material, un fenómeno climático o un grupo humano, podemos sacar conclusiones a partir de datos estadísticos. Para una mejor aproximación a la realidad, nuestra herramienta de predicción debería funcionar de la misma manera: al azar. Los modelos de simulación nacieron de esta necesidad.

 

Los números aleatorios se utilizan en la vida cotidiana en diferentes situaciones como los juegos de azar, el diseño de copos de nieve, la animación por computadora, las pruebas de autorización de chips, la transmisión de datos por satélite y las finanzas.

 

¿CÓMO GENERAR NÚMEROS ALEATORIOS?

La lógica nos lleva a creer que los humanos son generadores imperfectos de números aleatorios. Los estudios muestran que hay una clara tendencia de los seres humanos a producir secuencias distorsionadas y que éstas están relacionadas con las características personales, los conocimientos o la información anteriores o la edad.

 

Podemos utilizar situaciones de la vida real para obtener una tabla de números aleatorios, como la lista de números asignados por la Lotería Nacional a lo largo de su historia, porque se caracterizan por el hecho de que cada número tiene la misma probabilidad de ser elegido y que su elección es independiente de otros diseños.

 

Métodos manuales:

Lanzamiento de monedas, lanzamiento de dados, dispositivos mecánicos, dispositivos electrónicos

 

Los métodos de cálculo analógicos:

Son métodos que dependen de ciertos procesos físicos aleatorios, por ejemplo, el comportamiento de una corriente eléctrica.

 

Métodos de cálculo digital:

Si se utiliza un ordenador digital.

 

Las tablas de la biblioteca:

Se publican con números aleatorios de los que se pueden encontrar listas en libros de probabilidad y tablas matemáticas. Estas cifras han sido generadas por uno de los métodos de cálculo similares.

 

¿QUÉ SON LOS NÚMEROS PSEUDO-ALEATORIOS?

Son números generados por una función (determinista, no aleatoria) que parece ser aleatoria. Estos números seudoaleatorios se generan por un valor inicial de la aplicación iterativa de la función. La secuencia de números seudoaleatorios se somete a varias pruebas para medir su similitud con una secuencia aleatoria.

 

¿POR QUÉ DEBERÍAMOS USAR NÚMEROS PSEUDO-ALEATORIOS?

Principalmente porque las secuencias de números pseudo-aleatorios son más rápidas de generar que las secuencias de números aleatorios. Si la gente tiene dificultad para generar números aleatorios, lo que es aún más común con una computadora, la dificultad es que una computadora es tan “torpe” que no sabe cómo generarlos. Por eso usan números pseudo-aleatorios, que son los mismos para nosotros, porque nadie puede predecirlos.

 

APLICACIONES EN CRIPTOGRAFÍA

En el corazón de todos los sistemas criptográficos está la generación de números secretos que no pueden ser adivinados por nadie más, es decir, son aleatorios.

 

La generación de números aleatorios es necesaria en varios sistemas criptográficos, como la radio móvil digital GSM, en los que se asigna una clave aleatoria para autenticar al usuario o para proporcionar cierta seguridad cuando se asignan por primera vez números secretos a las tarjetas de crédito.

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Los números cuánticos pueden utilizarse para describir la trayectoria y el movimiento de un electrón en un átomo. Los números cuánticos de todos los electrones de un átomo dado, si se combinan, deben satisfacer la ecuación de Schrödinger.

 

¿Qué son los números cuánticos?

Los valores de las cantidades almacenadas de un sistema cuántico vienen dados por los números cuánticos. Los números cuánticos de los electrones (los números cuánticos que describen a los electrones) pueden definirse como un grupo de valores numéricos que proporcionan soluciones aceptadas por la ecuación de ondas de Schrödinger para los átomos de hidrógeno.

Se pueden utilizar cuatro números cuánticos para especificar totalmente todas las propiedades de un determinado electrón perteneciente a un átomo:

  • Número cuántico principal, designado por n.
  • Número cuántico del momento angular orbital (o número cuántico azimutal), designado por l.
  • Número cuántico magnético, indicado por m l .
  • El número de espín cuántico del electrón, indicado por m s .

 

m s .

 

Número cuántico principal

Los principales números cuánticos se identifican con el símbolo “n”. Designan la principal capa electrónica del átomo. Dado que la distancia más probable entre el núcleo y los electrones está descrita por los electrones, un valor superior al número cuántico principal implica una mayor distancia entre el electrón y el núcleo (lo que a su vez implica una mayor dimensión atómica).

El valor del número cuántico principal puede ser cualquier número entero con un valor positivo igual o mayor que uno. El valor n=1 indica la capa electrónica más interna de un átomo, que corresponde al estado de energía más bajo (o estado de masa) de un electrón.

Por lo tanto, es comprensible que el número cuántico principal n no puede tener un valor negativo o ser igual a cero porque un átomo no puede tener un valor negativo o cero para una envoltura principal.

Cuando un designado electrón es alimentado con energía (estado excitado), se puede percibir que el electrón salta de una envoltura principal a una envoltura superior, lo que provoca un aumento del valor de n. Asimismo, cuando los electrones pierden energía, vuelven a las envolturas inferiores y también disminuye el valor de n.

El aumento del valor de n para un electrón se denomina absorción, que muestra los fotones absorbidos por el electrón o la energía absorbida. De manera similar, la disminución del valor de n para un electrón se llama emisión, donde los electrones liberan su energía.

 

Número cuántico azimutal (ángulo de la órbita número cuántico)

El número de azimutal cuántico (o momento angular orbital) describe la forma de una órbita dada. Se designa con el símbolo “l” y su valor es igual al número total de nodos angulares de la órbita.

Un valor del número del azimutal cuántico puede indicar una subesfera s, p, d o f, que difieren en su forma. Este valor depende (y está limitado por) el valor del número cuántico principal, es decir, el valor azimutal del número cuántico está entre 0 y (n-1).

Ejemplo, si n = 3, el número cuántico del azimutal puede asumir los siguientes valores: 0,1 y 2; si l = 0, la subcubierta resultante es una subcubierta “s”. De manera similar, si l = 1 y l = 2, las subesferas resultantes son las subesferas “p” y “d” (respectivamente). Si n=3, las tres posibles subesferas son 3s, 3p y 3d.

En otro ejemplo, donde n = 5, los posibles valores de l son 0, 1, 2, 3 y 4. Si l = 3, entonces hay tres nodos angulares en el átomo.

 

Combinaciones-de-los-números-cuánticos-principales-y-azimutales
Combinaciones de los-números cuánticos principales y azimutales

 

Las subcapas aceptadas bajo diferentes combinaciones de ‘n’ y ‘l’ se enumeran arriba. Se entienden que el orbital ‘2d’ no puede existir ya que el valor de ‘l’ siempre es menor que el de ‘n’.

 

El Número cuántico magnético

El número total de órbitas en una subcubierta y la orientación de estas órbitas están determinadas por el número cuántico magnético. Se designa con el símbolo “ml”. Este número es la proyección del momento angular correspondiente a la órbita a lo largo de un eje determinado.

 

El valor del número cuántico magnético depende del valor del número cuántico azimutal (o momento angular orbital). Para un valor dado de l, el valor de ml se encuentra entre el rango -l y +l. Por lo tanto, depende indirectamente del valor de n.

 

El número total de órbitas en una subcubierta y la orientación de estas órbitas están determinadas por el número cuántico magnético. Se designa con el símbolo "ml". Este número es la proyección del momento angular correspondiente a la órbita a lo largo de un eje determinado. El valor del número cuántico magnético depende del valor del número cuántico azimutal (o momento angular orbital). Para un valor dado de l, el valor de ml se encuentra entre el rango -l y +l. Por lo tanto, depende indirectamente del valor de n.

 

 

Por ejemplo, si n = 4 y l = 3 en un átomo, los posibles valores del número cuántico magnético son -3, -2, -1, 0, +1, +2 y +3.

 

Valor de número cuántico azimutal

El número total de órbitas en una subcubierta dada es una función del valor “l” de esa órbita. Está dada por la fórmula (2l + 1) Por ejemplo, la subcapa “3d” (n=3, l=2) contiene 5 órbitas (2*2 + 1). Cada órbita puede contener 2 electrones. Por lo tanto, la subcapa 3d puede contener un total de 10 electrones.

Número cuántico de revoluciones de los electrones

El número de espín del electrón cuántico es independiente de los valores de n, l y ml. El valor de este número da información sobre la dirección de rotación del electrón y se indica con el símbolo ms.

El valor de ms da información sobre la dirección en la que gira el electrón.

 

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¿Que son los números ordinales en español?

Los números ordinales indican el orden de los componentes de una serie.

 

Los números ordinales del 1º al 1.000.000º

 

1º primero11º décimo primero / decimoprimero 21º vigésimo primero / vigesimoprimero31º trigesimoprimero
2º segundo12º décimo segundo / decimosegundo22º vigésimo segundo / vigesimosegundo40º cuadragésimo
3º tercero 13º décimo tercero / decimotercero 23º vigésimo tercero / vigesimotercero50º quincuagésimo
4º cuarto 14º décimo cuarto / decimocuarto24º vigésimo cuarto / vigesimocuarto60º sexagésimo
5º quinto 15º décimo quinto / decimoquinto25º vigésimo quinto / vigesimoquinto70º septuagésimo
6º sexto 16º décimo sexto / decimosexto26º vigésimo sexto / vigesimosexto80º octogésimo
7º séptimo 17º décimo séptimo / decimoséptimo27º vigésimo séptimo / vigesimoséptimo90º nonagésimo
8º octavo 18º décimo octavo / decimoctavo28º vigésimo octavo / vigesimoctavo 100º centésimo
9º noveno 19º décimo noveno / decimonoveno29º vigésimo noveno / vigesimonoveno1.000º milésimo
10º décimo 20º vigésimo30º trigésimo 1.000.000º millonésimo

 

Características de los números ordinales

Los números ordinales coinciden en género y número con el sustantivo al que acompañan.

Ejemplo: el segundo coche
las segundas marcas

Antonio es el primero.
Lorena es la tercera.

 

Los números ordinales de la primera y de la segunda decena (décimo…, vigésimo…) se pueden escribir en una o dos palabras.

Ejemplo: el vigésimo noveno nadador
el vigesimonoveno nadador

 

A partir de la tercera decena, el ordinal se escribe siempre en una sola palabra.

Ejemplo: el trigesimosegundo nadador

 

Si el número está compuesto por varias palabras, entonces todas coinciden en género con el nombre al que acompañan y se mantienen todas las tildes. Si el ordinal se escribe en una palabra, entonces solo coinciden en género y número el último componente y la tilde del primer componente se pierde.

Ejemplo:

la décima primera nadadora (nodécimo primera)
la decimoprimera nadadora (nodécimoprimeradecimaprimera)
el trigesimosegundo nadador (notrigésimosegundo)
la trigesimosegunda nadadora (notrigesimasegunda)

 

Primer y tercer

Los cardinales primero y tercero pierden la o final cuando delante a un sustantivo masculino.

Ejemplo: Es mi primer ordenador.

                  Es mi tercer impulso.

                  Es mi primera acuarela.

 

 

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Números Primos

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¿Estas por aquí, necesitas saber qué son los números primos? Con los ejemplos que te explicamos lo entenderás a la primera. 😉

En números.top te vamos a explicar las propiedades y una lista extensa de 10.000 primeros números primos más utilizados.

 

¿Qué es un número primo?

 

Los números primos son aquellos números enteros mayores que cero y solamente divisibles entre ellos mismos y el 1, es decir, que tienen exactamente dos divisores.

Ejemplos de números primos

 

NÚMERO PRIMO EXPRESIÓN EN PRODUCTO DIVISORES
2 2 * 1 = 2 2 y 1
5 5 * 1 = 5 5 y 1
7 7 * 1 = 7 7 y 1

 

Diferencia entre números primos y compuestos

¿Alguna vez te has preguntado por qué el día se divide exactamente en 24 horas y el círculo en 360 grados? El número 24 tiene una propiedad interesante: puede ser dividido en partes iguales de una manera relativamente grande. Por ejemplo: 24÷2 = 12, 24÷3 = 8, 24÷4 = 6, y así sucesivamente (¡rellene usted mismo las opciones restantes!). Esto significa que un día puede ser dividido en dos partes iguales de 12 horas cada una, día y noche. En una fábrica que trabaja continuamente en turnos de 8 horas, cada día se divide en exactamente tres turnos.

 

Por eso el círculo se ha dividido en 360°. Cuando el círculo se divide en dos, tres, cuatro, diez, doce o treinta partes iguales, cada parte contiene un número entero de grados; y hay otras maneras de dividir un círculo que no hemos mencionado. En la antigüedad, para varios propósitos artísticos, astronómicos y técnicos, era necesario dividir un círculo en sectores iguales del mismo tamaño con gran precisión. Con una brújula y un goniómetro como únicas herramientas disponibles, la división de un círculo en sectores iguales de igual tamaño tenía un gran valor práctico.1

 

Un número entero que puede escribirse como el producto de dos números más pequeños se denomina número compuesto. Un número entero que puede escribirse como el producto de dos números más pequeños, por ejemplo 24 = 3 × 8. Por ejemplo, las ecuaciones 24 = 4 × 6 y 33 = 3 × 11 muestran que 24 y 33 son números compuestos. Un número que no se puede descomponer de esta manera se denomina número primo, un número entero que no se puede escribir como el producto de dos números más pequeños, por ejemplo 7 o 23. Los números

 

2, 3, 5, 7, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29

 

son todos números primos. De hecho, son los primeros 10 números primos (¡puedes comprobarlo tú mismo si lo deseas!).

 

Una mirada a esta corta lista de números primos puede ya revelar algunas observaciones interesantes. En primer lugar, con la excepción del número 2, todos los números primos son impares, ya que un número par es divisible por 2, lo que lo hace compuesto. Así, la distancia entre dos números primos cualesquiera de una serie (llamados números primos consecutivos) es por lo menos 2, y en nuestra lista encontramos números primos consecutivos cuya diferencia es exactamente 2 (como los pares 3,5 y 17,19). También hay mayores diferencias entre los números primos consecutivos, como la diferencia de seis dígitos entre 23 y 29; cada uno de los números 24, 25, 26, 27 y 28 es un número compuesto. Otra observación interesante es que en el primer y segundo grupo de 10 números (es decir, entre 1-10 y 11-20) hay cuatro números primos cada uno, pero en el tercer grupo de 10 (21-30) sólo hay dos. ¿Qué significa esto? ¿Los números primos se vuelven más raros a medida que aumenta el número? ¿Se puede prometer que encontraremos más y más números primos indefinidamente?

 

Si algo te irrita en este punto y quieres profundizar en la lista de números primos y las preguntas que hicimos, significa que tienes el alma de un matemático. ¡Deténgase! ¡Deja de leer! 2 consigue un lápiz y un papel. Escriba todos los números hasta el 100 y marque los números primos. Comprueba cuántos pares hay con una diferencia de dos. Comprueba cuántos primates hay en cada grupo de 10. ¿Puedes encontrar patrones? ¿O la lista de números primos hasta el 100 le parece aleatoria?

 

 

NÚMERO COMPUESTO EXPRESIÓN EN PRODUCTO DIVISORES
4 4 * 1 = 4

2 * 2 = 4

4, 2 y 1
9 9 * 1 = 9

3 * 3 = 9

9, 3 y 1
15 15 * 1 = 15

5 * 3 = 15

15, 5, 3 y 1

 

 

¿Cuáles son los números primos entre sí?

 

Los números primos son números enteros que no tienen un factor primo común, es decir, su máximo divisor común es 1. También se denominan números de cobertura o números primos relativos, y cabe señalar que no tienen que ser primos individualmente. En este ejemplo, esto se puede entender mejor:

 

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI DIVISORES DIVISORES COMUNES
4 y 9 4: 4, 2 y 1

9: 9, 3 y 1

1
6 y 35 6: 6, 3, 2 y 1

35: 35, 7, 5, 1

1

 

Por otro lado, si tomamos como ejemplo el 8 y el 6, éstos no son coprimos ya que ambos son divisibles por 2.

 

HISTORIA Y EL CONCEPTO DEL TEOREMA

Los números primos han ocupado la atención humana desde la antigüedad e incluso han sido asociados con lo sobrenatural. Incluso hoy en día, en los tiempos modernos, hay gente que busca dotar a los números primos de propiedades místicas. En 1985, el famoso astrónomo y escritor científico Carl Sagan escribió un libro llamado “Contacto” sobre extraterrestres (una cultura similar a la de los humanos fuera de la Tierra) que buscan comunicarse con los humanos usando números primos como señales. La idea de que las señales de números primos pueden servir como base para la comunicación con culturas extraterrestres todavía enciende la imaginación de muchas personas hoy en día.

 

Se supone en general que el serio interés por los números primos comenzó ya en la época de Pitágoras. Pitágoras era un matemático de la antigua Grecia. Sus estudiantes, los pitagóricos, en parte científicos y en parte místicos, vivieron en el siglo VI a.C. No dejaron ninguna evidencia escrita, y lo que sabemos de ellos viene de la historia oral. Trescientos años más tarde, en el siglo III a.C., Alejandría (en el actual Egipto) fue la capital cultural del mundo griego. Euclides que vivió en Alejandría en la época de Ptolomeo I, puede estar familiarizado con la geometría euclidiana que lleva su nombre. La geometría euclidiana se ha enseñado en las escuelas durante más de 2.000 años.

 

 Euclides

 

Pero Euclides también estaba interesado en los números. En el noveno libro de su libro “Elementos”, en la proposición 20, aparece por primera vez una serie de pruebas matemáticas de argumentos lógicos destinados a demostrar la verdad de una proposición matemática. La evidencia se basa en hipótesis básicas verificadas u otros teoremas previamente probados. la declaración del teorema expresado en el lenguaje de las matemáticas, que puede definirse como definitivamente válido o inválido en un cierto sistema. que hay una infinidad de números primos.

 

¿Cuáles son los números primos gemelos?

 

Los números primos gemelos son dos números primos que están a una distancia dos. Podríamos decir que dos números primos (a, b) son primos gemelos si se cumple a – b = 2, siendo a > b.

La única posibilidad para que esto se cumpla es que ambos números sean números primos impares consecutivos.

Por ejemplo:

3, 5

5 y 7

101 y 103

 

Lista de números primos TOP

En los siguientes bloques encontraras tablas de números primos.

 

Números primos del 1 al 50

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

 

Números primos del 1 al 100

Todos los números primos del 1 al 50 y resto:

53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107

 

Números primos del 1 al 200

Todos los números primos del 1 al 100 y resto:

109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199

 

Números primos del 1 al 1000

Todos los números primos del 1 al 200 y resto:

211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997

 

Números primos del 1 al 10.000

Todos los números primos del 1 al 1000 y resto:

1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999

2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099, 2111, 2113, 2129, 2131, 2137, 2141, 2143, 2153, 2161, 2179, 2203, 2207, 2213, 2221, 2237, 2239, 2243, 2251, 2267, 2269, 2273, 2281, 2287, 2293, 2297, 2309, 2311, 2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357, 2371, 2377, 2381, 2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417, 2423, 2437, 2441, 2447, 2459, 2467, 2473, 2477, 2503, 2521, 2531, 2539, 2543, 2549, 2551, 2557, 2579, 2591, 2593, 2609, 2617, 2621, 2633, 2647, 2657, 2659, 2663, 2671, 2677, 2683, 2687, 2689, 2693, 2699, 2707, 2711, 2713, 2719, 2729, 2731, 2741, 2749, 2753, 2767, 2777, 2789, 2791, 2797, 2801, 2803, 2819, 2833, 2837, 2843, 2851, 2857, 2861, 2879, 2887, 2897, 2903, 2909, 2917, 2927, 2939, 2953, 2957, 2963, 2969, 2971, 2999

 

 

3001, 3011, 3019, 3023, 3037, 3041, 3049, 3061, 3067, 3079, 3083, 3089, 3109, 3119, 3121, 3137, 3163, 3167, 3169, 3181, 3187, 3191, 3203, 3209, 3217, 3221, 3229, 3251, 3253, 3257, 3259, 3271, 3299, 3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329, 3331, 3343, 3347, 3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3413, 3433, 3449, 3457, 3461, 3463, 3467, 3469, 3491, 3499, 3511, 3517, 3527, 3529, 3533, 3539, 3541, 3547, 3557, 3559, 3571, 3581, 3583, 3593, 3607, 3613, 3617, 3623, 3631, 3637, 3643, 3659, 3671, 3673, 3677, 3691, 3697, 3701, 3709, 3719, 3727, 3733, 3739, 3761, 3767, 3769, 3779, 3793, 3797, 3803, 3821, 3823, 3833, 3847, 3851, 3853, 3863, 3877, 3881, 3889, 3907, 3911, 3917, 3919, 3923, 3929, 3931, 3943, 3947, 3967, 3989

4001, 4003, 4007, 4013, 4019, 4021, 4027, 4049, 4051, 4057, 4073, 4079, 4091, 4093, 4099, 4111, 4127, 4129, 4133, 4139, 4153, 4157, 4159, 4177, 4201, 4211, 4217, 4219, 4229, 4231, 4241, 4243, 4253, 4259, 4261, 4271, 4273, 4283, 4289, 4297, 4327, 4337, 4339, 4349, 4357, 4363, 4373, 4391, 4397, 4409, 4421, 4423, 4441, 4447, 4451, 4457, 4463, 4481, 4483, 4493, 4507, 4513, 4517, 4519, 4523, 4547, 4549, 4561, 4567, 4583, 4591, 4597, 4603, 4621, 4637, 4639, 4643, 4649, 4651, 4657, 4663, 4673, 4679, 4691, 4703, 4721, 4723, 4729, 4733, 4751, 4759, 4783, 4787, 4789, 4793, 4799, 4801, 4813, 4817, 4831, 4861, 4871, 4877, 4889, 4903, 4909, 4919, 4931, 4933, 4937, 4943, 4951, 4957, 4967, 4969, 4973, 4987, 4993, 4999

5003, 5009, 5011, 5021, 5023, 5039, 5051, 5059, 5077, 5081, 5087, 5099, 5101, 5107, 5113, 5119, 5147, 5153, 5167, 5171, 5179, 5189, 5197, 5209, 5227, 5231, 5233, 5237, 5261, 5273, 5279, 5281, 5297, 5303, 5309, 5323, 5333, 5347, 5351, 5381, 5387, 5393, 5399, 5407, 5413, 5417, 5419, 5431, 5437, 5441, 5443, 5449, 5471, 5477, 5479, 5483, 5501, 5503, 5507, 5519, 5521, 5527, 5531, 5557, 5563, 5569, 5573, 5581, 5591, 5623, 5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659, 5669, 5683, 5689, 5693, 5701, 5711, 5717, 5737, 5741, 5743, 5749, 5779, 5783, 5791, 5801, 5807, 5813, 5821, 5827, 5839, 5843, 5849, 5851, 5857, 5861, 5867, 5869, 5879, 5881, 5897, 5903, 5923, 5927, 5939, 5953, 5981, 5987

6007, 6011, 6029, 6037, 6043, 6047, 6053, 6067, 6073, 6079, 6089, 6091, 6101, 6113, 6121, 6131, 6133, 6143, 6151, 6163, 6173, 6197, 6199, 6203, 6211, 6217, 6221, 6229, 6247, 6257, 6263, 6269, 6271, 6277, 6287, 6299, 6301, 6311, 6317, 6323, 6329, 6337, 6343, 6353, 6359, 6361, 6367, 6373, 6379, 6389, 6397, 6421, 6427, 6449, 6451, 6469, 6473, 6481, 6491, 6521, 6529, 6547, 6551, 6553, 6563, 6569, 6571, 6577, 6581, 6599, 6607, 6619, 6637, 6653, 6659, 6661, 6673, 6679, 6689, 6691, 6701, 6703, 6709, 6719, 6733, 6737, 6761, 6763, 6779, 6781, 6791, 6793, 6803, 6823, 6827, 6829, 6833, 6841, 6857, 6863, 6869, 6871, 6883, 6899, 6907, 6911, 6917, 6947, 6949, 6959, 6961, 6967, 6971, 6977, 6983, 6991, 6997

7001, 7013, 7019, 7027, 7039, 7043, 7057, 7069, 7079, 7103, 7109, 7121, 7127, 7129, 7151, 7159, 7177, 7187, 7193, 7207, 7211, 7213, 7219, 7229, 7237, 7243, 7247, 7253, 7283, 7297, 7307, 7309, 7321, 7331, 7333, 7349, 7351, 7369, 7393, 7411, 7417, 7433, 7451, 7457, 7459, 7477, 7481, 7487, 7489, 7499, 7507, 7517, 7523, 7529, 7537, 7541, 7547, 7549, 7559, 7561, 7573, 7577, 7583, 7589, 7591, 7603, 7607, 7621, 7639, 7643, 7649, 7669, 7673, 7681, 7687, 7691, 7699, 7703, 7717, 7723, 7727, 7741, 7753, 7757, 7759, 7789, 7793, 7817, 7823, 7829, 7841, 7853, 7867, 7873, 7877, 7879, 7883, 7901, 7907, 7919, 7927, 7933, 7937, 7949, 7951, 7963, 7993

8009, 8011, 8017, 8039, 8053, 8059, 8069, 8081, 8087, 8089, 8093, 8101, 8111, 8117, 8123, 8147, 8161, 8167, 8171, 8179, 8191, 8209, 8219, 8221, 8231, 8233, 8237, 8243, 8263, 8269, 8273, 8287, 8291, 8293, 8297, 8311, 8317, 8329, 8353, 8363, 8369, 8377, 8387, 8389, 8419, 8423, 8429, 8431, 8443, 8447, 8461, 8467, 8501, 8513, 8521, 8527, 8537, 8539, 8543, 8563, 8573, 8581, 8597, 8599, 8609, 8623, 8627, 8629, 8641, 8647, 8663, 8669, 8677, 8681, 8689, 8693, 8699, 8707, 8713, 8719, 8731, 8737, 8741, 8747, 8753, 8761, 8779, 8783, 8803, 8807, 8819, 8821, 8831, 8837, 8839, 8849, 8861, 8863, 8867, 8887, 8893, 8923, 8929, 8933, 8941, 8951, 8963, 8969, 8971, 8999

9001, 9007, 9011, 9013, 9029, 9041, 9043, 9049, 9059, 9067, 9091, 9103, 9109, 9127, 9133, 9137, 9151, 9157, 9161, 9173, 9181, 9187, 9199, 9203, 9209, 9221, 9227, 9239, 9241, 9257, 9277, 9281, 9283, 9293, 9311, 9319, 9323, 9337, 9341, 9343, 9349, 9371, 9377, 9391, 9397, 9403, 9413, 9419, 9421, 9431, 9433, 9437, 9439, 9461, 9463, 9467, 9473, 9479, 9491, 9497, 9511, 9521, 9533, 9539, 9547, 9551, 9587, 9601, 9613, 9619, 9623, 9629, 9631, 9643, 9649, 9661, 9677, 9679, 9689, 9697, 9719, 9721, 9733, 9739, 9743, 9749, 9767, 9769, 9781, 9787, 9791, 9803, 9811, 9817, 9829, 9833, 9839, 9851, 9857, 9859, 9871, 9883, 9887, 9901, 9907, 9923, 9929, 9931, 9941, 9949, 9967, 9973

 

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Los números reales son simplemente la combinación de números racionales e irracionales en el sistema numérico. En general, todas las operaciones aritméticas pueden realizarse con estos números y también pueden representarse en series de números. Al mismo tiempo, los números imaginarios son números irreales que no pueden expresarse en la serie de números y que a menudo se utilizan para representar un número complejo. Los conceptos relacionados con los números reales se explican aquí en detalle, junto con ejemplos y preguntas prácticas. El concepto clave del sistema de números se discute en este artículo.

 

 

Ejemplos

23

-12 6,99

5/2

π (3.14)

 

Definición de los números reales

Los números reales pueden definirse como la unión de los números racionales e irracionales. Pueden ser positivos o negativos y se designan con el símbolo “R”. Todos los números naturales, los números decimales y las fracciones entran en esta categoría. Véase la siguiente figura, que muestra la clasificación de los números reales.

Conjunto de números reales

El conjunto de números reales consta de diferentes categorías, como números naturales y enteros, números racionales e irracionales y números enteros. En el cuadro que figura a continuación se definen todos estos números con ejemplos.

Categoría Definición Ejemplo
Números naturales Contiene todos los números contados que comienzan desde 1.

N = {1,2,3,4, ……}

Todos los números como 1, 2, 3, 4,5,6, ….. …
Números enteros Colección de cero y número natural.

W = {0,1,2,3,… ..}

Todos los números que incluyen 0 como 0, 1, 2, 3, 4,5,6,… ..…
Enteros El resultado colectivo de números enteros y negativo de todos los números naturales. Todos son números reales. Incluye: -infinito, …… ..- 4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …… + infinito
Numeros racionales Números que se pueden escribir en forma de p / q, donde q ≠ 0. Ejemplos de números racionales son ½, 5/4 y 12/6, etc.
Numeros irracionales Todos los números que no son racionales y no se pueden escribir en forma de p / q. Los números irracionales son de naturaleza no terminante y no repetitiva como √2

 

Tabla de números reales

La tabla para el conjunto de números reales que incluye todos los tipos se proporciona a continuación:

Tabla números reales

 

Las propiedades de los números reales

Hay cuatro propiedades principales, que incluyen la propiedad conmutativa, la propiedad asociativa, la propiedad distributiva y la propiedad de identidad. Tengan en cuenta que “m, n e r” son los números reales. Basándonos en estas propiedades, podemos definir los números como

Propiedad conmutativa

Si m y n son números, la forma general es m + n = n + m para la suma y m.n = n.m para la multiplicación.

 

Suma: m + n = n + m. Por ejemplo: 5 + 3 = 3 + 5, 2 + 4 = 4 + 2

Multiplicación: m × n = n × m. Por ejemplo: 5 × 3 = 3 × 5, 2 × 4 = 4 × 2

 

Propiedad asociativa

Si somos m, n e r i números. La forma general es m + (n + r) = (m + n) + r por suma(mn) r = m (nr) por multiplicación.

 

Para la adición: La forma general es m + (n + r) = (m + n) + r. Un ejemplo de la propiedad asociativa del aditivo es 10 + (3 + 2) = (10 + 3) + 2.

Para la multiplicación: (mn) r = m (nr). Un ejemplo de la propiedad de multiplicación asociativa es (2 × 3) 4 = 2 (3 × 4).

 

Propiedad distributiva

Para los tres números m, n e r, que son reales, la propiedad de distribución tiene la forma:

m (n + r) = mn + mr e (m + n) r = mr + nr

Un ejemplo de la propiedad de distribución es: 5(2 + 3) = 5 × 2 + 5 × 3, donde ambos lados dan 25.

 

Propiedad de la identidad

Hay identidades aditivas y multiplicativas.

Para la suma: m + 0 = m. (cero es la identidad del aditivo)

Para la multiplicación: a × 1 = 1 × a = a. (1 es la identidad multiplicativa)

 

Preguntas frecuentes

¿Qué son los números naturales y reales?

Los números naturales son todos números enteros positivos desde el 1 hasta el infinito. Todos los números naturales son números enteros, pero no todos los números enteros son números naturales.

 

Los números reales son números que contienen tanto números racionales como irracionales. Los números racionales como los números enteros (-2, 0, 1), las fracciones (1/2, 2,5) y los números irracionales como √3, π(22/7) etc. son todos números reales.

 

¿Es el cero un número real o imaginario?

El cero se considera tanto un número real como imaginario. Como sabemos, los números imaginarios son la raíz cuadrada de los números reales no positivos. Y como el cero también es un número no positivo, cumple los criterios de un número imaginario. Mientras que el 0 es también un número racional, que se define en una serie de números y por lo tanto representa un número real.

 

¿Hay números reales que no son racionales o irracionales?

No, no hay números reales que no sean ni racionales ni irracionales. De hecho, la propia definición de los números reales indica que es una combinación de números racionales e irracionales.

 

¿Es el número real un subconjunto de un número complejo?

Sí, porque un número complejo es una combinación de un número real y un número imaginario. Así que si el número complejo es un conjunto, entonces los números reales e imaginarios son el subconjunto.

 

 

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Números naturales

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Los números naturales son parte del sistema numérico que incluye todos los números enteros positivos desde el 1 hasta el infinito. Es un entero siempre mayor que cero (0).     Es parte de los números reales.

Nota: Los números naturales nunca consistirán en números negativos o ceros.

En este artículo aprenderemos más sobre los números naturales en términos de definición, comparación con los números enteros, representación en las series de números, propiedades, etc.

 

Definición de los números naturales

Como se explica en la introducción, los números naturales son números positivos e incluyen números del 1 al infinito (∞). Estos números pueden ser contados y normalmente se utilizan para los cálculos.  Todos los números naturales están representados por la letra “N”.

Números naturales y enteros

Los números naturales incluyen todos los números enteros excepto el número 0, es decir, todos los números naturales son números enteros, pero no todos los números enteros son números naturales. Mira la diferencia entre los números naturales y los enteros para aprender más sobre las propiedades distintivas de estos dos conjuntos de números.

 

La ilustración de los conjuntos anteriores muestra dos regiones,

 

A ∩ B, que es la intersección de números naturales y enteros (1, 2, 3, 4, 5, 6, ………….) y la zona verde que indica A-B, que es parte del todo (0).

 

Un número entero es por lo tanto “una parte del todo que consiste en el número natural, incluyendo el 0”.

 

La historia de los números naturales

Los primeros indicios del uso de los números provienen de los grabados de la sociedad mesopotámica, realizados alrededor del 400 a.C. Este primer uso de los números fue adaptado de manera personalizada por las civilizaciones de Grecia y Roma.

 

El estudio de los números ha progresado a través de los tiempos y alcanzó sus primeros cimientos en el siglo XIX, cuando Richard Dedekind publicó varios estudios sobre los números.

A esto le siguió el trabajo de Peano y Frege, que estudiaron las razones de la existencia de los números naturales. Su trabajo fue finalmente continuado por Zermelo, Fraenkel y von Neumann. Uno tras otro, los matemáticos estudiaron la construcción de los números naturales hasta la definición de los conocimientos actuales.

 

Richard Dedekind

 

La aparición del cero como un número

Históricamente, la creación del número cero comenzó cuando la India desarrolló su propio sistema de numeración. Adoptó el número cero y despertó el interés de la sociedad árabe, que acabó utilizándolo.

 

Tras los cambios de control de la Península Ibérica en el siglo XII, Europa también comenzó a utilizar el número cero. Inicialmente, el cero era uno de los números utilizados, pero no se consideraba un número natural.

 

No fue hasta el siglo XIX y algunos de los estudios mencionados anteriormente que el cero se utilizó también en Europa, una vez que se definió la teoría de los conjuntos.

 

¿Es el “0” un número natural?

La respuesta a esta pregunta es “no”. Como ya sabemos, los números naturales empiezan de 1 a infinito y son positivos. Pero si hablamos de 0 con un número entero positivo como 10, 20, etc. se convierte en un número natural. De hecho, 0 es un número entero que tiene un valor cero.

 

Representación de los números naturales en una serie de números

La representación natural de los números en una serie de números es la siguiente:

 

La serie de números de arriba representa los números naturales y los enteros de una serie de números. Todos los números enteros a la derecha del 0 representan números naturales y por lo tanto forman un conjunto infinito de números. Si incluyes el 0, estos números se convierten en números enteros, que también son un conjunto infinito de números.

 

Conjunto de números naturales

clasificacion-numeros-enteros

En la notación definida, el símbolo del número natural es “N” y se muestra como se muestra a continuación.

 

Declaración:

N = cantidad de todos los números que comienzan con 1.

En la forma de lista :

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ………………………………}

 

Ejemplos de números naturales

 

Los números naturales incluyen números enteros positivos (también llamados números enteros no negativos) y algunos ejemplos son 1, 2, 3, 4, 5, 6, .. ∞ En otras palabras: los números naturales son un conjunto de todos los números enteros excepto el 0.

 

Las propiedades de los números naturales

Las propiedades de números naturales se dividen en cuatro propiedades principales, que incluyen la propiedad de cierre, la propiedad de cambio, la propiedad asociativa y la propiedad de distribución. Cada una de estas propiedades se explica en detalle a continuación.

 

Propiedades de cierre

Los números naturales siempre se cierran bajo la suma y la multiplicación, es decir, la suma y la multiplicación de los números naturales siempre da como resultado un número natural. Con la resta y la división, los números naturales no se cierran, es decir, la resta o división de dos números naturales no puede dar lugar a un número natural.

 

La suma: 1 + 2 = 3, 3 + 4 = 7, y así sucesivamente. En cada uno de estos casos, el número resultante es siempre un número natural.

Multiplicación: 2 × 3 = 6, 5 × 4 = 20, y así sucesivamente. De nuevo, el número resultante es siempre un número natural.

Resta: 9 – 5 = 4, 3 – 5 = -2, y así sucesivamente. En este caso, el resultado puede ser o no un número natural.

División: 10 ÷ 5 = 2, 10 ÷ 3 = 3.33, y así sucesivamente. También en este caso, el número resultante puede o no ser un número natural.

La propiedad asociativa

La propiedad asociativa se aplica a la suma y multiplicación de los números naturales, es decir, a + ( b + c ) = ( a + b ) + c y a × ( b × c ) = ( a × b ) × c. Sin embargo, la propiedad asociativa no se aplica a la resta y división de los números naturales. A continuación se da un ejemplo.

 

Suma: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c => 3 + (15 + 1 ) = 19 y (3 + 15 ) + 1 = 19.

Multiplicación: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c => 3 × (15 × 1 ) = 45 e ( 3 × 15 ) × 1 = 45.

Resta: a – ( b – c ) ≠ ( a – b ) – c => 2 – (15 – 1 ) = – 12 e ( 2 – 15 ) – 1 = – 14.

Distribución: a ÷ ( b ÷ c ) ≠ ( a ÷ b ) ÷ c => 2 ÷ ( 3 ÷ 6 ) = 4 e ( 2 ÷ 3 ) ÷ 6 = 0,11.

 

Preguntas frecuentes sobre números naturales

¿Qué son los números naturales?

Los números naturales son los enteros positivos o no negativos que comienzan desde 1 y terminan en el infinito, como:

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ……, ∞.

¿Es 0 un número natural?

El cero no tiene un valor positivo o negativo. Dado que todos los números naturales son enteros positivos, por lo tanto, no podemos decir que cero es un número natural. Aunque cero se llama un número entero.

¿Cuáles son los primeros diez números naturales?

Los primeros diez números naturales son: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 y 10.

¿Cuál es la diferencia entre números naturales y números enteros?

Los números naturales incluyen solo enteros positivos y comienzan desde 1 hasta el infinito. Mientras que los números enteros son la combinación de cero y números naturales, ya que comienza desde 0 y termina en valor infinito.

¿Cuáles son los ejemplos de números naturales?

Los ejemplos de números naturales son 5, 7, 21, 24, 99, 101, etc.

 

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Números enteros

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¿Qué son los números enteros?

 

Números Enteros

 

Los números enteros, o simplemente los números enteros, son un grupo de números que incluyen todos los números naturales, sus inversiones negativas y el cero. Este conjunto de números se designa con la letra Z, que viene de la palabra alemana zahlen (“números”).

Los números enteros están representados por una serie de números, con el cero en el medio y los números positivos (Z+) a la derecha y los negativos (Z-) a la izquierda, ambos lados llegando al infinito. Los negativos se transcriben con su signo (-), no siendo necesario para los positivos, pero esto se hace para puede hacerse para despuntar la diferencia

De esta manera, los números enteros positivos se hacen más grandes a la derecha, mientras que los negativos se hacen cada vez más pequeños a medida que uno se mueve hacia la izquierda. También podemos hablar del valor absoluto de un entero (representado entre las barras |z|), que es la distancia entre su posición en la serie de números y el cero, independientemente de su signo: |5| es el valor absoluto de +5 o -5.

La incorporación de números enteros en los números naturales amplía el rango de cosas que pueden ser cuantificadas e incluye números negativos, que se utilizan para rastrear ausencias o pérdidas, o incluso para ciertas cantidades como la temperatura, que utiliza valores por encima y por debajo de cero.

 

clasificacion-numeros-enteros

 

Propiedades de los números enteros

Los números enteros se puede sumar, multiplicar o dividir y sumar como los naturales, pero siguiendo unas normas.

Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse o dividirse como números naturales, pero siempre siguiendo las reglas que determinan el signo resultante, de la siguiente manera.

 

Sumas con enteros:

Para determinar la suma de dos números enteros, preste atención a sus signos, de la siguiente manera:

Si ambos son positivos o si uno de ellos es cero, simplemente sume sus valores absolutos y el signo positivo se conserva. Por ejemplo: 3 + 2 = 5.

Si ambos signos son negativos o si uno de ellos es cero, simplemente sumen sus valores absolutos y mantengan el signo negativo. Por ejemplo: -3 + -2 = -5.

Los que tienen signos diferentes, el valor absoluto del más pequeño debe restarse del más grande, y el signo del más grande se aguanta en el resultado. Por ejemplo: -3 + 4 = 1.

 

Restar con enteros:

Al restar los números enteros, también se tiene en cuenta el signo, según sea más grande o pequeño en valor absoluto, según la regla de que dos caracteres idénticos juntos se convierten en el opuesto:

 

Sustracción de dos números positivos con un resultado positivo: 10 – 5 = 5

Restar dos números positivos que tengan un resultado negativo: 5 – 10 = -5

Restar dos números negativos con un resultado negativo: (-5) – (-2) = (-5) + 2 = -3

Restar dos números negativos con un resultado positivo: (-2) – (-3) = (-2) + 3 = 1

Restar dos números con signos diferentes y resultados negativos: (-7) – (+6) = -13

Restar dos números que tengan signos diferentes y un resultado positivo: (2) – (-3) = 5.

 

Multiplicación con enteros:

La multiplicación de los números enteros se realiza mediante la multiplicación normal de los valores absolutos y la aplicación de la regla del signo, que prescribe lo siguiente:

 

Más veces más es igual a más. Ejemplo: (+2) x (+2) = (+4)

Más por menos es igual a menos. Ejemplo: (+2) x (-2) = (-4)

Menos por más es igual a menos. Ejemplo: (-2) x (+2) = (-4)

Menos por menos es igual a más. Ejemplo: (-2) x (-2) = (+4)

 

División con enteros:

División. Funciona como una multiplicación. Ejemplo:

 

(+10) / (-2) = (-5)

(-10) / 2 = (-5)

(-10) / (-2) = 5.

10 / 2 = 5.

 

Introducción a los NÚMEROS ENTEROS,

 

 

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